[nikomat 28599] Re: Visitor from New York

[yama@moss.co.jp]

山口です。

うちに一冊だけ数学の本があったので、
調べました。

定義域 A の関数 f(x) で

(1)
lim f(x) (x->a)   = f(a)

であるなら、f(x) は a で連続。

(2)
fがA(定義域）の各点で連続なら、f は連続である。

ということらしいです。

(1)の意味では

> 関数f(x)は、xが無理数のとき連続で、
> 　　　　　　xが有理数のときに不連続になる、すか？

は正しそうだけど。

(2)の意味では

>f(x)は不連続です。

これも正しいということ。
になるんでしょうか。

ところで、私が前から疑問に思ってることがあります。

区間[0,1]を以下の条件を満たす。２つの集合A,Bに分類する。

１．A∩B = 空集合
２．A∪B = [0,1]

３．AもBも実数の濃度（アレフ１）である。
４．[0,1]に含まれるどんな部分区間[a,b]をとっても、
必ず、A,Bそれぞれの部分集合がふくまれ、しかもその部分集合の濃度は
実数の濃度である。

こういう分割って可能でしょうか？

直感的にいうと、
「実数はかき混ぜ混合可能か」という問題なんですが、
私には不可能のように思えます。
どなたか数学に詳しい方、いかがなものでしょう？